Topcoder SRM 677 Div1

Easy: DoubleOrOneEasy

给出a, b, A, B,有两种操作:

  • a, b同时乘2
  • a, b同时加1

问最少经过多少次操作使得 a == A && b == b

首先明确一点,在什么情况下有解。

假如进行过x次乘法之后,a变为aa, b变为bb。
令$ aa = a * 2^x + y, bb = b * 2^x + z $,则y == z。

也就是说,如果有解,则存在一个x,使得
$A - a * 2^x == B - b * 2 ^ x$

一般来说这样的x是只有一个的(A == B && a == b时特殊)。
贪心找到最大的x,就是最后进行过乘法的次数。
然后在此基础上找加法的个数。

还是令 $y = A - a * 2^x$
首先贪心,最开始先进行$y / (1<<x)$次加法操作, 还剩下$z = y \% (1<<x) $需要补,再加上bitcount(z)就好了(自己想为什么)。

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int solve(int a, int b, int aa, int bb) {
int ret = -1, num = 0;
while(a <= aa && b <= bb) {
if(aa - a == bb - b) ret = max(ret, num);
a <<= 1, b <<= 1;
++num;
}
return ret;
}
class DoubleOrOneEasy
{
public:
int minimalSteps(int a, int b, int aa, int bb) {
int num = solve(a, b, aa, bb);
if(num == -1) return -1;
int tmp = aa - (a << num);
return num + tmp / (1<<num) + __builtin_popcount(tmp % (1<<num));
}
};

Medium: DiameterOfRandomTree

给出一个棵树,每条边等概率长度为1或2,求树的直径。

dp[root][d1][l1]表示根为root的子树,直径为d1,从根往下最长的链长度为l1的方案数。
dp[son][d2][l2]表示子树的状态。
状态转移公式:

$$ dp[root][max(max(d1, d2), l1 + l2 + 1)][max(l1, l2 + 1)] += dp[root][d1][l1] * dp[son][d2][l2] $$

$$ dp[root][max(max(d1, d2), l1 + l2 + 2)][max(l1, l2 + 2)] += dp[root][d1][l1] * dp[son][d2][l2] $$

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VI head[55];
LL dp[55][2][101][101], max_l[55], dia[55];//dp中加了一维作滚动数组
void init() {
mem(dp), mem(max_l), mem(dia);
REP(i, 50) head[i].clear();
}
int dfs(int cur, int pre) {
int sta = 0;
dp[cur][sta][0][0] = 1;
for(int to: head[cur]) {
if(to == pre) continue;
int to_sta = dfs(to, cur); sta ^= 1;
mem(dp[cur][sta]);
FOR(d1, 0, dia[cur])
FOR(l1, 0, max_l[cur])
FOR(d2, 0, dia[to])
FOR(l2, 0, max_l[to]) {
int d = max(max(d1, d2), l1 + l2 + 1), l = max(l1, l2 + 1);
dp[cur][sta][d][l] += dp[cur][sta^1][d1][l1] * dp[to][to_sta][d2][l2];
d = max(max(d1, d2), l1 + l2 + 2), l = max(l1, l2 + 2);
dp[cur][sta][d][l] += dp[cur][sta^1][d1][l1] * dp[to][to_sta][d2][l2];
}
dia[cur] = max(max(dia[cur], dia[to]), max_l[cur] + max_l[to] + 2);
max_l[cur] = max(max_l[cur], max_l[to] + 2);
}
return sta;
}
class DiameterOfRandomTree
{
public:
double getExpectation(vector <int> a, vector <int> b){
init();
REP(i, a.size()) {
head[a[i]].pb(b[i]);
head[b[i]].pb(a[i]);
}
int sta = dfs(0, -1);
double ret = 0, div = (double)(1ll << a.size());
FOR(i, 0, dia[0])
FOR(j, 0, max_l[0])
ret += (double) dp[0][sta][i][j] / div * i;
return ret;
}
};